RL直列回路の交流位相差Phase Difference in an RL Series AC Circuit

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. コイル(インダクタンス L)を含む交流回路では、電流の山は電源電圧の山と同時に来ると思いますか。それとも、ずれると思いますか。ずれるなら、早い・遅いのどちらでしょう。In an AC circuit containing a coil (inductance L), do you think the peaks of the current occur at the same time as the peaks of the source voltage, or are they shifted? If shifted, earlier or later?💡 コイルには、電流の変化をさまたげる(自己誘導)はたらきがあります。A coil opposes changes in the current through it (self-induction).
2. 周波数 f を高くすると、電流の大きさ(振幅)はどう変わると思いますか。If you raise the frequency f, how do you think the size (amplitude) of the current will change?💡 電流の変化が速くなると、コイルの「さまたげ」はどうなるでしょうか。What happens to the coil's opposition when the current changes more quickly?

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(周波数 f=50 Hz、L=0.050 H、抵抗 R=20 Ω)で「(2) 時間波形」を見て、v_R(橙)と i(白い点線)、v_L(緑)、v(青)の山の位置を比べる。必要なら「一時停止」を押すか、再生速度を「1周期=4秒」にする。In the starting state (Frequency f=50 Hz, L=0.050 H, Resistance R=20 Ω), look at "(2) Waveforms" and compare the peaks of v_R (orange), i (white dashed), v_L (green) and v (blue). Press "Pause" or set the speed to "1 cycle = 4 s" if needed.
2. 「(3) フェーザ図」で、V_R の矢印の先から V_L の矢印をつないだ先が V の矢印の先と一致すること、V_R と V_L が直角であることを確認する。下の「瞬時値」の欄で v = v_R + v_L の数値も確かめる。In "(3) Phasor diagram", check that the V_L arrow drawn from the tip of V_R ends exactly at the tip of V, and that V_R and V_L are at a right angle. Also check v = v_R + v_L with the numbers in the "Instantaneous" line below.
3. 「L=」のスライダーを 0.050 H → 0.100 H、次に 0 H に動かし、φ=tan⁻¹(ωL/R)、Z、I₀、V_L0 の値と波形のずれを記録する。Move the "L=" slider from 0.050 H to 0.100 H and then to 0 H, and record φ=tan⁻¹(ωL/R), Z, I₀ and V_L0 along with the shift between the waveforms.
4. L=0.050 H に戻し、「周波数 f」を 10 Hz と 100 Hz にして同じ値を読む。最後に f=50 Hz で「抵抗 R」を 1 Ω と 100 Ω にして φ と V_R0、V_L0 を比べる。Set L back to 0.050 H and read the same values with "Frequency f" at 10 Hz and at 100 Hz. Finally, at f=50 Hz, set "Resistance R" to 1 Ω and to 100 Ω and compare φ, V_R0 and V_L0.

3確かめようCheck

1. 時間波形で、v_R・v_L・電流 i の山はどのような順にならんでいますか。In the waveforms, how are the peaks of v_R, v_L and the current i arranged in time?→ v_R の山は電流 i の山と同時(同位相)。v_L の山は i より 1/4 周期(π/2)早く来る。電源電圧 v の山は v_L と v_R の間にあり、i は v より φ だけ遅れる(初期値では φ=38.1°、遅れの時間は約 2.12 ms)。The peaks of v_R coincide with those of i (in phase). The peaks of v_L come a quarter period (π/2) earlier than i. The source voltage v peaks between v_L and v_R, and i lags v by φ (φ = 38.1°, about 2.12 ms, in the starting state).
2. L を 0 H → 0.050 H → 0.100 H と大きくすると、φ・I₀・V_L0 はどう変わりましたか。As L increased from 0 H to 0.050 H to 0.100 H, how did φ, I₀ and V_L0 change?→ φ は 0° → 38.1° → 57.5° と大きくなり、V_L0 は 0 V → 6.18 V → 8.44 V と増えた。Z が 20.00 Ω → 25.43 Ω → 37.24 Ω と増えるので、I₀ は 500.0 mA → 393.2 mA → 268.5 mA と減った。L=0 では v、v_R、i がすべて同位相になった。φ grew from 0° to 38.1° to 57.5°, and V_L0 from 0 V to 6.18 V to 8.44 V. Z rose from 20.00 Ω to 25.43 Ω to 37.24 Ω, so I₀ fell from 500.0 mA to 393.2 mA to 268.5 mA. With L=0, v, v_R and i were all in phase.
3. f を 10 Hz と 100 Hz にしたとき、φ と I₀ はどうなりましたか。What were φ and I₀ at f = 10 Hz and at f = 100 Hz?→ f=10 Hz では X_L=3.14 Ω、φ=8.9°、I₀=493.9 mA。f=100 Hz では X_L=31.42 Ω、φ=57.5°、I₀=268.5 mA。周波数が高いほど ωL が大きくなり、位相差は大きく、電流は小さくなる。At f=10 Hz, X_L=3.14 Ω, φ=8.9° and I₀=493.9 mA. At f=100 Hz, X_L=31.42 Ω, φ=57.5° and I₀=268.5 mA. The higher the frequency, the larger ωL, so the phase difference is larger and the current is smaller.
4. R を 1 Ω と 100 Ω にすると、φ と V_R0・V_L0 はどうなりましたか。What happened to φ, V_R0 and V_L0 when R was 1 Ω and when it was 100 Ω?→ R=1 Ω では φ=86.4° でほぼ 90°、V_L0=9.98 V で電圧のほとんどがコイルにかかる。R=100 Ω では φ=8.9° と小さく、V_R0=9.88 V で電圧のほとんどが抵抗にかかる。R を大きくすると位相差は小さくなる。With R=1 Ω, φ=86.4° (almost 90°) and V_L0=9.98 V, so almost all the voltage is across the coil. With R=100 Ω, φ=8.9° and V_R0=9.88 V, so almost all is across the resistor. Increasing R makes the phase difference smaller.

4考えようThink further

1. 初期状態では V_R0=7.86 V、V_L0=6.18 V で、足すと 14.04 V になり電源の振幅 V₀=10 V を超えます。これはエネルギー保存に反していないのでしょうか。In the starting state V_R0 = 7.86 V and V_L0 = 6.18 V, which add up to 14.04 V, more than the source amplitude V₀ = 10 V. Does this break energy conservation?→ 反していない。v_R と v_L は位相が π/2 ずれているので、山が同時には来ない。振幅どうしは単純な和ではなく、直角な2つのベクトルの合成で √(7.86² + 6.18²) ≈ 10 V となる。各瞬間の瞬時値では常に v = v_R + v_L が成り立っている。No. v_R and v_L are π/2 out of phase, so their peaks never occur at the same time. Their amplitudes combine like two perpendicular vectors, √(7.86² + 6.18²) ≈ 10 V, not by simple addition. At every instant v = v_R + v_L still holds.
2. なぜコイルの電圧 v_L は電流より π/2 進むのでしょうか。Why does the inductor voltage v_L lead the current by π/2?→ コイルの電圧は電流の変化の速さに比例する(v_L = L·di/dt)。正弦波の電流は、山や谷では変化が0、0を横切るときに変化が最大になるので、v_L は電流が0を増加しながら横切るときに最大になる。これは電流の山より 1/4 周期前にあたる。The inductor voltage is proportional to how fast the current changes (v_L = L·di/dt). A sinusoidal current changes fastest as it crosses zero and not at all at its peaks, so v_L is largest when the current crosses zero going up, a quarter period before the current peaks.

よくある誤解Common misconceptions

• 「直列回路の各部分の電圧の最大値を足すと電源電圧の最大値になる」という誤解。位相がずれているので、成り立つのは瞬時値の和であり、振幅はベクトル(フェーザ)として合成する。"In a series circuit, the peak voltages across each part add up to the peak source voltage." Because the phases differ, only the instantaneous values add directly; amplitudes combine as vectors (phasors).
• 「コイルは交流でも直流と同じく導線と変わらない」という誤解。コイルは周波数に比例するリアクタンス ωL をもち、周波数が高いほど電流を流しにくくする。"A coil acts just like a plain wire in AC, as it does in DC." A coil has a reactance ωL that grows with frequency, so it impedes the current more at higher frequencies.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)