弦の定常波共鳴：共鳴周波数さがしStanding Waves on a String: Finding Resonance

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 弦を揺らす周波数 f を少しずつ上げていくと、弦は「どの周波数でも同じように大きく揺れる」と思いますか。それとも「特定の周波数だけで大きく揺れる」と思いますか。If you slowly raise the frequency f at which the string is shaken, do you think the string vibrates strongly at every frequency, or only at certain frequencies?💡 両端が固定されているとき、弦の上にきれいに収まる波の形には条件がありそうです。When both ends are fixed, think about whether only certain wave shapes can fit neatly on the string.
2. 弦をぴんと強く張る(張力 T を大きくする)と、共振する周波数は高くなる・低くなる・変わらない、のどれだと思いますか。If you pull the string tighter (increase the tension T), do you think the resonant frequencies go up, go down, or stay the same?💡 ギターの弦を締めたときの音の高さの変化を思い出してみましょう。Recall what happens to the pitch when you tighten a guitar string.

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(加振周波数 f = 50 Hz、張力 T = 50 N)で、上の表示の v = √(T/μ) = 100.0 m/s、f₁ = v/(2L) = 50.0 Hz と「固有周波数 fₙ」の一覧(f1=50.0, f2=100.0, f3=150.0, f4=200.0)を確認し、「1次共振」の表示と弦の形を見る。In the starting state (Driving frequency f = 50 Hz, Tension T = 50 N), read v = √(T/μ) = 100.0 m/s, f₁ = v/(2L) = 50.0 Hz and the list of "Natural frequencies fₙ" (f1=50.0, f2=100.0, f3=150.0, f4=200.0), then look at the "Mode 1 resonance" message and the shape of the string.
2. 「加振周波数 f」をゆっくり上げ、f = 100 Hz と f = 150 Hz で止める。それぞれで「節」の線の本数と位置(下の目盛り 0.00m〜1.00m)を読み取る。Slowly raise "Driving frequency f" and stop at f = 100 Hz and at f = 150 Hz. At each, count the "node" lines and read their positions on the scale (0.00m to 1.00m) below the string.
3. 「加振周波数 f」を 100 Hz から 120 Hz へ動かし、共振のメッセージが「共鳴していません」に変わること、弦の揺れが小さくなり節がなくなることを確認する。f をもう一度 100 Hz に近づけ、何 Hz 以内で共振に戻るかを調べる。Move "Driving frequency f" from 100 Hz to 120 Hz and confirm that the message changes to "No resonance" and the string's vibration becomes small with no nodes. Then bring f back toward 100 Hz and find how close it must be for resonance to return.
4. f = 120 Hz のまま「張力 T」を 50 N → 80 N に上げ、v と f₁ と fₙ の一覧がどう変わるかを見る。次に「加振周波数 f」を約 126.5 Hz に合わせて共振させる。Keeping f = 120 Hz, raise "Tension T" from 50 N to 80 N and watch how v, f₁ and the fₙ list change. Then set "Driving frequency f" to about 126.5 Hz so that the string resonates.
5. 動きが速くて見にくいときは「スローモーション倍率 s」を小さくするか「一時停止」を押し、節の位置が時間がたっても動かないことを確かめる。If the motion is too fast to follow, lower "Slow-motion factor s" or press "Pause", and check that the node positions do not move over time.

3確かめようCheck

1. f = 100 Hz(2次共振)と f = 150 Hz(3次共振)のとき、弦の内側の節はそれぞれ何個で、どこにありますか。At f = 100 Hz (mode 2) and f = 150 Hz (mode 3), how many inner nodes are there and where are they?→ 2次共振では内側の節は1個で、弦のちょうど中央(0.50 m)にある。3次共振では2個で、約0.33 m と約0.67 m にあり、節の間隔は L/n = 0.333 m で等しい。どちらも両端(固定端)は節になっている。In mode 2 there is 1 inner node, exactly at the middle (0.50 m). In mode 3 there are 2, at about 0.33 m and 0.67 m, evenly spaced by L/n = 0.333 m. In both cases the two fixed ends are also nodes.
2. f を 100 Hz から 120 Hz にすると、弦の揺れとメッセージはどうなりますか。What happens to the string and the message when you change f from 100 Hz to 120 Hz?→ 「共鳴していません(最も近い f2=100.0Hz まで 20.0Hz)」と表示され、弦は小さくしか揺れず、節の線も消える。このシミュレーションでは fₙ との差が 3 Hz 以内のときだけ共振する。It shows "No resonance (nearest f2=100.0Hz is 20.0Hz away)", the string only wobbles slightly, and the node lines disappear. In this simulation resonance occurs only when f is within 3 Hz of some fₙ.
3. 張力 T を 50 N から 80 N に上げると、v と f₁ はどう変わりましたか。When you raised the tension T from 50 N to 80 N, how did v and f₁ change?→ v は 100.0 m/s から 126.5 m/s に、f₁ は 50.0 Hz から 63.2 Hz に増え、固有周波数の一覧はすべて高い方へずれた(f2 = 126.5 Hz)。そのため f = 120 Hz では共振せず、f を約 126.5 Hz にすると2次共振した。v rose from 100.0 m/s to 126.5 m/s and f₁ from 50.0 Hz to 63.2 Hz, and every natural frequency in the list shifted upward (f2 = 126.5 Hz). So f = 120 Hz did not resonate, but f ≈ 126.5 Hz gave mode 2 resonance.
4. T = 20 N にすると、210 Hz 以下の固有周波数はいくつありますか。T = 50 N のときと比べてどうですか。At T = 20 N, how many natural frequencies are there up to 210 Hz? How does this compare with T = 50 N?→ T = 20 N では v = 63.2 m/s、f₁ = 31.6 Hz となり、f1〜f6 の6個ある(T = 50 N では4個)。張力が小さいほど固有周波数の間隔が狭くなる。At T = 20 N, v = 63.2 m/s and f₁ = 31.6 Hz, so there are six (f1 to f6), compared with four at T = 50 N. Lower tension makes the natural frequencies more closely spaced.

4考えようThink further

1. 張力を 20 N から 80 N へ4倍にすると、波の速さと基本振動数は何倍になりますか。その理由を式で説明しましょう。If the tension is multiplied by 4 (from 20 N to 80 N), by what factor do the wave speed and the fundamental frequency change? Explain with the formulas.→ v = √(T/μ) なので、T が4倍になると v は √4 = 2 倍(63.2 → 126.5 m/s)になる。f₁ = v/(2L) で L は変わらないので、f₁ も2倍(31.6 → 63.2 Hz)になる。Since v = √(T/μ), multiplying T by 4 multiplies v by √4 = 2 (63.2 → 126.5 m/s). Because f₁ = v/(2L) and L is fixed, f₁ also doubles (31.6 → 63.2 Hz).
2. なぜ両端固定の弦では、弦の長さ L が半波長の整数倍(L = n·λ/2)のときだけ定常波ができるのでしょうか。Why does a standing wave form on a string fixed at both ends only when its length is a whole number of half-wavelengths (L = n·λ/2)?→ 固定端は動けないので必ず節になる。定常波の節と節の間隔は λ/2 なので、両端の両方を節にするには L が λ/2 の整数倍でなければならない。λ = v/f を代入すると f = n·v/(2L) となり、これが固有振動数である。A fixed end cannot move, so it must be a node. Neighbouring nodes in a standing wave are λ/2 apart, so both ends can be nodes only if L is a whole number of half-wavelengths. Substituting λ = v/f gives f = n·v/(2L), the natural frequencies.

よくある誤解Common misconceptions

• 「弦は揺らす周波数を上げれば上げるほど大きく揺れる」という誤解。実際には固有振動数に一致したときだけ大きく揺れ(共振)、その間の周波数では揺れは小さい。"The higher the driving frequency, the more strongly the string vibrates." In fact the string vibrates strongly only when the frequency matches a natural frequency (resonance); between them the vibration stays small.
• 「張力を変えても共振する周波数は変わらない(長さだけで決まる)」という誤解。波の速さ v = √(T/μ) が変わるので、固有振動数も変わる。"The resonant frequencies depend only on the length, not the tension." Tension changes the wave speed v = √(T/μ), so the natural frequencies change too.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)