鉛直投げ上げとv-tグラフVertical Throw and v-t Graph

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 真上に投げ上げたボールが最高点に達した瞬間、ボールの速度と加速度はそれぞれどうなっていると思いますか。At the instant a ball thrown straight up reaches its highest point, what do you think its velocity and its acceleration are?💡 速度と加速度は別の量です。最高点の前後で、重力はボールにどのように働き続けているでしょうか。Velocity and acceleration are different quantities. How does gravity act on the ball just before and just after the highest point?
2. ボールが投げた位置に戻ってきたときの速さは、投げたときの速さと比べて大きい・小さい・同じ、のどれだと思いますか(空気抵抗なし)。When the ball returns to the point it was thrown from, is its speed greater than, less than, or equal to the launch speed (no air resistance)?💡 上がるのにかかる時間と、下りるのにかかる時間を比べて考えてみましょう。Think about how the time to go up compares with the time to come down.

2動かしてみようTry it

1. 「初速度 v₀」を 15.0 m/s、「地球9.8」ボタンで g = 9.8 m/s² にして「リセット」を押し、ボールの動きと v-t グラフの赤い直線・時刻カーソルの動きを見比べる(最高点で約1秒止まる)。Set "Initial velocity v₀" to 15.0 m/s, press "Earth 9.8" for g = 9.8 m/s², and press "Reset". Compare the ball's motion with the red line and the time cursor on the v-t graph (it pauses about 1 s at the top).
2. 「一時停止」を押し、v-t グラフ上をタップ／ドラッグして時刻を動かす。直線が時間軸と交わる点(最高点(v=0))に合わせ、左のボールの位置と HUD の y・v を読む。Press "Pause", then tap or drag on the v-t graph to move through time. Line the cursor up with the point where the line crosses the time axis ("Top (v=0)") and read the ball's position and the y and v values in the readout.
3. カーソルを最後(t = 3.06 s)まで動かし、黄色(正)と水色(負)の面積、「変位 y = 正 − 負」、「戻り速度」を記録する。Drag the cursor to the end (t = 3.06 s) and record the yellow (positive) and cyan (negative) areas, "Displacement y = positive − negative", and "Return velocity".
4. v₀ = 15.0 m/s のまま「月1.6」「木星24.8」ボタンを押し、直線の傾き、最高点 H、「戻り時刻 2v₀/g」の変化を比べる(点線は同じ v₀ での月・地球・木星の比較線)。Keeping v₀ = 15.0 m/s, press "Moon 1.6" and "Jupiter 24.8" and compare the slope of the line, the max height H, and "Return time 2v₀/g" (the dashed lines compare the Moon, Earth and Jupiter at the same v₀).
5. 「地球9.8」に戻し、「初速度 v₀」を −10.0 m/s(下向きに投げる)にして、グラフが最初から時間軸より下にあることと面積の色を確認する。Return to "Earth 9.8" and set "Initial velocity v₀" to −10.0 m/s (thrown downward). Check that the graph starts below the time axis and note the color of the area.

3確かめようCheck

1. v₀ = 15.0 m/s、g = 9.8 m/s² のとき、グラフが時間軸と交わる時刻と、そのときのボールの位置・速度はいくらでしたか。With v₀ = 15.0 m/s and g = 9.8 m/s², at what time did the graph cross the time axis, and what were the ball's position and velocity then?→ t = v₀/g = 1.53 s で交わり、このときボールは最高点 y = 11.48 m にあって v = 0.00 m/s(一時静止)だった。最高点の高さは H = v₀²/(2g) = 11.48 m と一致し、黄色の面積も 11.48 m だった。It crossed at t = v₀/g = 1.53 s. At that moment the ball was at its highest point, y = 11.48 m, with v = 0.00 m/s (momentarily at rest). This matches H = v₀²/(2g) = 11.48 m, and the yellow area was also 11.48 m.
2. 投げた位置に戻った時刻と、そのときの速度はいくらでしたか。上昇と下降の時間はどうでしたか。When did the ball return to the launch point, and what was its velocity? How did the rise time compare with the fall time?→ 戻り時刻は 2v₀/g = 3.06 s、戻り速度は −15.00 m/s(= −v₀)で、速さは投げたときと同じで向きが下向き。上昇 1.53 s = 下降 1.53 s で対称だった。It returned at 2v₀/g = 3.06 s with velocity −15.00 m/s (= −v₀): the same speed as at launch, but pointing down. Rise 1.53 s = fall 1.53 s, so the motion is symmetric.
3. 戻ったとき(t = 3.06 s)の黄色と水色の面積、変位はいくらでしたか。At the return (t = 3.06 s), what were the yellow and cyan areas and the displacement?→ 黄色(正) 11.48 m、水色(負) 11.48 m で、変位 y = 正 − 負 = 0.00 m。上がった分だけ下がったので、出発点に戻っている。Yellow (positive) 11.48 m and cyan (negative) 11.48 m, so displacement y = positive − negative = 0.00 m. It came down exactly as far as it went up, so it is back at the start.
4. v₀ = 15.0 m/s のまま月・地球・木星で比べると、グラフの傾きと最高点はどう変わりましたか。Comparing the Moon, Earth and Jupiter at v₀ = 15.0 m/s, how did the slope and the max height change?→ g が大きいほど直線の傾きが急になり、時間軸と早く交わる。最高点は月 70.31 m(上昇 9.38 s)、地球 11.48 m(1.53 s)、木星 4.54 m(0.60 s)で、H は g に反比例する。The larger g is, the steeper the line and the sooner it crosses the time axis. Max height: Moon 70.31 m (rise 9.38 s), Earth 11.48 m (1.53 s), Jupiter 4.54 m (0.60 s); H is inversely proportional to g.

4考えようThink further

1. 最高点で速度は 0 なのに、ボールがそこで止まったままにならないのはなぜですか。v-t グラフを使って説明しましょう。The velocity is zero at the highest point, so why doesn't the ball stay there? Explain using the v-t graph.→ v-t グラフは最高点の前後でも同じ傾き −g の1本の直線で、折れ曲がらない。つまり加速度は最高点でも −g(下向き 9.8 m/s²)のままなので、速度は 0 を通り過ぎてすぐに負(下向き)になる。速度が 0 でも加速度は 0 ではない。The v-t graph is one straight line with the same slope −g before and after the top; it does not bend. So the acceleration is still −g (9.8 m/s² downward) at the top, and the velocity passes through zero and immediately becomes negative (downward). Zero velocity does not mean zero acceleration.
2. 初速度を2倍にすると、最高点の高さと戻ってくるまでの時間はそれぞれ何倍になりますか。グラフの三角形の形から考えましょう。If the initial velocity is doubled, by what factor do the max height and the time to return change? Reason from the shape of the triangle on the graph.→ 傾き −g は変わらないので、v₀ が2倍になると黄色の三角形は縦も横も2倍になる。時間(横)は 2倍、面積=高さ H は 2×2 = 4倍になる(H = v₀²/(2g))。シミュレーションで v₀ を 7.5 → 15.0 m/s にすると H は約 2.87 m → 11.48 m になる。The slope −g stays the same, so doubling v₀ makes the yellow triangle twice as tall and twice as wide. Time (width) doubles, and the area, which is the height H, becomes 2 × 2 = 4 times larger (H = v₀²/(2g)). In the simulation, changing v₀ from 7.5 to 15.0 m/s changes H from about 2.87 m to 11.48 m.

よくある誤解Common misconceptions

• 「最高点では速度が 0 なので、加速度(重力の効果)も 0 になる」という誤解。グラフの傾きは最高点でも −g のままである。The idea that because the velocity is zero at the top, the acceleration (the effect of gravity) is also zero there. The slope of the graph is still −g at the top.
• 「v-t グラフが時間軸より下に行くと、ボールが地面より下に行く(または止まる)」という誤解。負の速度は下向きに動いていることを表し、位置は面積(正 − 負)で決まる。The idea that when the v-t graph goes below the time axis, the ball goes below the ground (or stops). Negative velocity means moving downward; the position is given by the area (positive − negative).

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)