狙撃兵の問題：落ちる標的を撃つMonkey and Hunter: Shooting a Falling Target

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 糸が切れて標的(猿)が落ち始めるのと同時に、標的の最初の位置に向けて弾を撃ちます。弾は標的に当たると思いますか。標的の少し下を狙うべきだと思いますか。The bullet is fired straight at the target's (monkey's) initial position at the same moment the string is cut and the target starts to fall. Will the bullet hit? Or should you aim a little below the target?💡 もし重力がなければ、弾と標的はそれぞれどこにいるでしょうか。重力があると、そこからどれだけずれるでしょうか。Where would the bullet and the target each be if there were no gravity? How far does gravity move each of them away from that position?
2. 弾の速さを大きくしたり小さくしたりすると、当たり・外れは変わると思いますか。Do you think making the bullet faster or slower changes whether it hits?💡 速さが変わると、弾が標的の真下(x = 30 m)に着くまでの時間が変わります。その間に、弾と標的はそれぞれどれだけ落ちるでしょうか。Changing the speed changes the time the bullet takes to reach x = 30 m. How far do the bullet and the target each fall during that time?

2動かしてみようTry it

1. 「発射速度 v」25 m/s、「標的の高さ h」18.0 m、「狙い角偏差 Δθ」0.0° で「発射」を押す。「速度」を 0.25× にすると動きをゆっくり見られる。青い破線の照準線が θ = arctan(h/30) = 30.96° で標的を指していることを確認する。With "Launch speed v" 25 m/s, "Target height h" 18.0 m and "Aim offset Δθ" 0.0°, press "Fire". Set "Speed" to 0.25× to watch slowly. Check that the blue dashed aim line points at the target at θ = arctan(h/30) = 30.96°.
2. 飛行中に、照準線上の青い円(重力なしの弾)から赤い弾までの緑の線と、標的の最初の位置からの沈みが、どちらも同じ「½gt²」と表示されることを確認する。ストロボ点(Δt = 0.1 s ごと)の横の間隔と縦の間隔も見る。During the flight, check that the green bar from the blue ring on the aim line (bullet with no gravity) down to the red bullet and the target's drop from its initial position both show the same "½gt²". Also look at the horizontal and vertical spacing of the strobe dots (every Δt = 0.1 s).
3. Δθ = 0.0° のまま v を 40 m/s・h を 28 m、v を 20 m/s・h を 30 m などに変えて「発射」し、命中するか、命中時刻が「理論 d/(v·cosθ)」と一致するかを確かめる。Keeping Δθ = 0.0°, try v = 40 m/s with h = 28 m, and v = 20 m/s with h = 30 m, pressing "Fire" each time. Check whether it hits and whether the hit time matches "theory d/(v·cosθ)".
4. v = 10 m/s(h = 18 m, Δθ = 0°)にして「発射」し、外れたときのメッセージを読む。Set v = 10 m/s (h = 18 m, Δθ = 0°), press "Fire", and read the message when it misses.
5. v = 25 m/s、h = 18 m に戻し、Δθ を +3.0° や −3.0° にして「発射」する。x = 30 m での高さのずれ Δy と理論値 30(tan(θ+Δθ)−tanθ) を比べる。Return to v = 25 m/s and h = 18 m, set Δθ to +3.0° or −3.0°, and press "Fire". Compare the height difference Δy at x = 30 m with the theory 30(tan(θ+Δθ) − tanθ).

3確かめようCheck

1. v = 25 m/s、h = 18 m、Δθ = 0° のとき、命中した時刻・高さと、そのときの ½gt² はいくらでしたか。With v = 25 m/s, h = 18 m and Δθ = 0°, what were the hit time and height, and what was ½gt² at that moment?→ t = 1.399 s(理論 d/(v·cosθ) = 1.399 s)に、高さ y = 8.40 m で命中した。½gt² = 9.60 m で、弾も標的も照準線の高さ 18 m から同じ 9.60 m だけ沈んでいた(18 − 9.60 = 8.40)。It hit at t = 1.399 s (theory d/(v·cosθ) = 1.399 s) at a height of y = 8.40 m. ½gt² = 9.60 m: both the bullet and the target had dropped the same 9.60 m below the aim-line height of 18 m (18 − 9.60 = 8.40).
2. ストロボ点の間隔は、横方向と縦方向でどのようになっていましたか。How did the spacing of the strobe dots look in the horizontal and vertical directions?→ 横方向の間隔は一定(水平方向は等速直線運動)。重力なしの位置(青い円)からの沈み(緑の線)は時間とともにどんどん大きくなり、鉛直方向には等加速度で落ちていることがわかる。The horizontal spacing is constant (uniform motion horizontally). The drop below the no-gravity position (green bar from the blue ring) grows faster and faster, showing uniformly accelerated motion vertically.
3. v = 10 m/s(h = 18 m)のとき、なぜ外れましたか。Why did it miss with v = 10 m/s (h = 18 m)?→ 「弾が地面に届かず」と表示され、弾は 1.05 s で着地したが、x = 30 m に着くには 3.50 s かかるため、標的の下に届く前に地面に落ちた。Δθ = 0° では「標的が先に着地」になることはないと表示される。The message said the bullet hits the ground first: it landed at 1.05 s, but it would need 3.50 s to reach x = 30 m, so it hit the ground before reaching the target. The note says that with Δθ = 0 the target never lands first.
4. v = 25 m/s、h = 18 m で Δθ = +3.0° にすると、どうなりましたか。What happened with v = 25 m/s, h = 18 m and Δθ = +3.0°?→ 外れて、x = 30 m で弾が標的より Δy = 2.21 m 上を通った。理論値 30(tan(θ+Δθ)−tanθ) = 2.21 m と一致した(Δθ = −3.0° では −2.07 m で下を通る)。It missed: at x = 30 m the bullet passed Δy = 2.21 m above the target, matching the theory 30(tan(θ+Δθ) − tanθ) = 2.21 m (with Δθ = −3.0° it is −2.07 m, passing below).

4考えようThink further

1. 照準を標的の最初の位置に合わせれば、弾の速さによらず命中するのはなぜですか。Why does aiming at the target's initial position give a hit no matter what the bullet's speed is?→ 重力がなければ弾は照準線上をまっすぐ進み、x = 30 m で標的の最初の位置 (30, h) に着く。重力があると、弾も標的も同じ時刻 t までに同じ ½gt² だけ落ちるので、その位置関係は保たれ、x = 30 m に着いた瞬間に同じ高さにいる。速さが変わるのは「いつ・どの高さで当たるか」だけである(地面に届く前に着く場合)。Without gravity, the bullet would travel straight along the aim line and arrive at the target's initial position (30, h). With gravity, both the bullet and the target fall the same ½gt² by any time t, so their relationship is preserved and they are at the same height when the bullet reaches x = 30 m. Speed only changes when and at what height the hit occurs (as long as it arrives before reaching the ground).
2. もし標的が糸から離れずにぶら下がったままなら、照準どおりに撃った弾はどこを通りますか。If the target stayed hanging instead of falling, where would a bullet aimed straight at it pass?→ 弾だけが ½gt² 落ちるので、x = 30 m では標的の ½gt² だけ下を通って外れる(v = 25 m/s、h = 18 m なら約 9.6 m 下)。標的も同じだけ落ちるからこそ命中する。Only the bullet would fall ½gt², so at x = 30 m it would pass ½gt² below the target and miss (about 9.6 m below for v = 25 m/s and h = 18 m). It hits only because the target falls by the same amount.

よくある誤解Common misconceptions

• 「弾は落ちるので、標的より下を狙わないと当たらない」という誤解。標的も同時に落ち始めるので、最初の位置を狙うのが正しい。The idea that since the bullet drops, you must aim below the target. The target starts falling at the same moment, so aiming at its initial position is correct.
• 「速く飛ぶ弾は重力の影響を受けにくい(落ちにくい)」という誤解。落下量は速さに関係なく時間だけで決まり ½gt² である。速い弾は早く着くので、落ちる量が少ないだけである。The idea that a fast bullet is less affected by gravity. The drop depends only on time, ½gt², not on speed; a fast bullet simply arrives sooner, so it has less time to fall.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)