等加速度直線運動とv-tグラフUniform Acceleration and the v-t Graph

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 初速度2.0 m/s、加速度+1.0 m/s²で動く台車のv-tグラフは、どのような形になるだろうか。10秒後の速さは何m/sになるだろうか。A cart starts at 2.0 m/s with an acceleration of +1.0 m/s². What shape will its v-t graph have, and what will its speed be after 10 s?💡 加速度は「1秒あたりの速度の変化」である。Acceleration is the change in velocity per second.
2. 加速度を負にすると、台車はやがてどうなるだろうか。そのときv-tグラフはどこで終わるだろうか。If the acceleration is negative, what will eventually happen to the cart? Where will the v-t graph end?💡 毎秒同じだけ速度が減っていくと、どこかで速度が0になる。If the velocity drops by the same amount every second, it will reach 0 at some point.

2動かしてみようTry it

1. 初期設定（① 初速度 v₀ = 2.0 m/s、② 加速度 a = +1.0 m/s²、③ 測定時間 t_max = 10 s）で台車が動き出す。t = 2 s 付近で「一時停止」を押し、t・v・x・面積の値を記録してから「再生」で最後まで動かす。With the starting settings (① Initial velocity v₀ = 2.0 m/s, ② Acceleration a = +1.0 m/s², ③ Time limit t_max = 10 s) the cart starts moving. Press "Pause" around t = 2 s, record t, v, x and Area, then press "Play" to run to the end.
2. 「② 加速度 a」を0にして「再生」を押し、v-tグラフの形と台車のレール上の1秒ごとの縦線の間隔を観察する。Set "② Acceleration a" to 0 and press "Play". Watch the shape of the v-t graph and the spacing of the 1-second marks on the rail.
3. 「① 初速度 v₀」を4.0 m/s、「② 加速度 a」を−1.0 m/s²にする。点線のプレビューで予想される直線を見てから「再生」を押し、台車が止まる時刻と位置を記録する。Set "① Initial velocity v₀" to 4.0 m/s and "② Acceleration a" to −1.0 m/s². Look at the dashed preview line, then press "Play" and record the time and position where the cart stops.
4. いろいろなv₀とaを試し、台車の緑の速度矢印の長さとv-tグラフ上の赤い点の高さが同じように変化することを確かめる。最後に「リセット」を押す。Try different values of v₀ and a, and check that the length of the cart’s green velocity arrow changes in the same way as the height of the red dot on the v-t graph. Finally press "Reset".

3確かめようCheck

1. 初期設定（v₀ = 2.0 m/s、a = +1.0 m/s²）で、t = 10 s のときのvとxはいくらか。面積の表示と比べるとどうか。With the starting settings (v₀ = 2.0 m/s, a = +1.0 m/s²), what are v and x at t = 10 s? How do they compare with the Area display?→ v = 12.00 m/s（2.0 + 1.0×10）、x = 70.00 m（2.0×10 + ½×1.0×10²）で、面積も70.00 mと等しい。途中（例：t = 2.17 s で x = 面積 = 6.68 m）でも常に一致する。v = 12.00 m/s (2.0 + 1.0 × 10) and x = 70.00 m (2.0 × 10 + ½ × 1.0 × 10²), and the Area is also 70.00 m. They match at every moment (for example x = Area = 6.68 m at t = 2.17 s).
2. v-tグラフの直線のt = 0での値と傾きは、スライダーのどの値と一致しているか。Which slider values match the value of the line at t = 0 and the slope of the line?→ t = 0の値（切片）は初速度v₀（2.0 m/s）、傾きは加速度a（1.0 m/s²）と一致する。グラフ右上にも「傾き a = 1.0 m/s²」と表示される。The value at t = 0 (the intercept) equals the initial velocity v₀ (2.0 m/s), and the slope equals the acceleration a (1.0 m/s²). The top right of the graph also shows "Slope a = 1.0 m/s²".
3. a = 0 にすると、v-tグラフとレール上の縦線の間隔はどうなるか。When a = 0, what do the v-t graph and the spacing of the marks on the rail look like?→ v-tグラフはv = 2.0 m/sの水平な直線になり、縦線の間隔は等しくなる（等速直線運動）。10 s 後の x は 20.00 m で、長方形の面積 2.0×10 と等しい。The v-t graph is a horizontal line at v = 2.0 m/s, and the marks are evenly spaced (uniform motion). At 10 s, x = 20.00 m, equal to the rectangle area 2.0 × 10.
4. v₀ = 4.0 m/s、a = −1.0 m/s² のとき、台車はいつ、どこで止まるか。With v₀ = 4.0 m/s and a = −1.0 m/s², when and where does the cart stop?→ t = 4.00 s で v = 0 になり、x = 8.00 m で止まる。グラフは三角形になり、面積 ½×4.0×4.0 = 8.00 m が止まるまでの変位に等しい。縦線の間隔はだんだん狭くなる。v becomes 0 at t = 4.00 s and the cart stops at x = 8.00 m. The graph makes a triangle, and its area ½ × 4.0 × 4.0 = 8.00 m equals the displacement until it stops. The marks get closer and closer together.

4考えようThink further

1. なぜv-tグラフの面積が変位になるのか。短い時間Δtに分けて考えて説明しよう。Why does the area under the v-t graph equal the displacement? Explain by dividing the time into short intervals Δt.→ 短い時間Δtの間は速度がほぼ一定とみなせるので、その間の変位はv×Δt、つまりグラフの細長い長方形の面積になる。これをすべて足し合わせると、グラフとt軸で囲まれた面積全体が変位になる。等加速度では台形の面積(v₀+v)/2×tとなり、v₀t + ½at² と一致する。Over a short time Δt the velocity is almost constant, so the displacement in that time is v × Δt, the area of a thin rectangle under the graph. Adding all of them gives the whole area between the graph and the t-axis. For uniform acceleration this is the trapezoid area (v₀ + v)/2 × t, which equals v₀t + ½at².
2. v₀ = 4.0 m/sのまま、減速の大きさを2倍（a = −2.0 m/s²）にすると、止まるまでの距離はどうなるか。予想してから確かめよう。Keeping v₀ = 4.0 m/s, if the deceleration is doubled (a = −2.0 m/s²), how does the stopping distance change? Predict, then check.→ 止まるまでの時間が2.00 sと半分になるので、三角形の面積は½×4.0×2.0 = 4.00 mとなり、止まるまでの距離も半分になる。The stopping time halves to 2.00 s, so the triangle area becomes ½ × 4.0 × 2.0 = 4.00 m; the stopping distance also halves.

よくある誤解Common misconceptions

• v-tグラフの形がそのまま物体の動いた道すじを表している、という誤解。v-tグラフは速度の時間変化を表し、変位はグラフの高さではなく面積で読み取る。The idea that the shape of a v-t graph shows the path the object takes. A v-t graph shows how velocity changes with time; displacement is read from the area, not the height.
• 加速度が負なら、物体ははじめから後ろ向きに進む、という誤解。v₀が正でaが負のときは、前向きに進みながら減速していく。The idea that a negative acceleration means the object moves backward from the start. When v₀ is positive and a is negative, the object keeps moving forward while slowing down.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)